Por: Penildo Frermal

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1. Pensemos num mundo que tenha no máximo três objectos com propriedades arbitrárias (a, b e c). É pensável: i) que em tal mundo não exista objecto algum (), ii) que cada objecto exista isoladamente (a, b, c), iii) que os objectos unam-se aos pares (ab, bc, ac) e iv) que existam todos em conjunto, formando um trio (abc). Então podemos pensar em tal mundo de oito maneiras distintas: {}; a, b, c; ab, bc, ac; abc[1].D

2. Das oito maneiras seleccionadas de pensar o mundo temos duas situações constantes: ou o mundo não possui membros ({}), ou possui membros (a, b, c; ab, bc, ac; abc). O mundo sem membros indica-nos que podemos pensar num mundo sem objectos. Mas o mundo com objectos mostra-nos que, apesar de podermos pensar num mundo sem objectos, não podemos pensar em objectos sem o mundo. Ambos mundos, de acordo com a linguagem de Leibniz, são mundos possíveis [de três objectos]; na linguagem de Wittgenstein I[2], são espaços ou possibilidades lógicas; e, de acordo com Russell, são classes.

3. No ponto 1 dissemos que três objectos com propriedades arbitrárias têm oito possibilidades de existência. No ponto 2 simplificamos as oito possibilidades em duas: o que significa que há um caso em que os três objectos não existem e sete em que pelo menos um dos três existe. O primeiro caso, aquele que representamos por “{}”, assume um novo valor: o valor 0; e o segundo caso terá o valor 1, onde “0” significa “contradição” e “1” signfica “tautologia”. A tautologia “1” e a contradição “0” são o que chamamos de valores binários.

4. Dado o ponto acima, as oito possibilidades de existência são baseadas em duas. Se tivéssemos dois objectos (a, b), teríamos quatro casos baseados em duas possibilidades: i) quando o mundo está sem objectos ({} ou 0), ii) quando cada objecto está isolado um do outro (a; b) e iii) quando estão todos juntos (ab). Se tivéssemos que pensar num único objecto, teríamos dois casos: i) mundo sem objectos () e ii) mundo com um só objecto. Assim, como Russell teria afirmado: há mais classes no mundo que objectos, visto que, quando o mundo tiver somente um objecto, o mesmo terá duas classes (ou possibilidades de existência) de objectos; quando tiver dois objectos, o mundo terá quatro classes; e, se forem três objectos, o mundo terá oito classes.

5. O que dissemos no ponto acima resume-se na seguinte fórmula: “2^n>n” onde n é o número de objectos e 2 são as possibilidades. Essa fórmula dá expressão à progressão de uma classe.

II.

6. Com a fórmula “2^n>n” repetimos o que fizemos do ponto 1 ao ponto 4 considerando as seguntes substituições: i) se n=1, então “2^1>1” pois “2^1=2; ii) se n=2, então “2^2>2” pois “= 2^2=2*2=4; e iii) se n=3, então “2^3>3” pois “2^3=2*2*2=8. Assim, o primeiro caso representa o caso em que temos somente a, o segundo representa aquele em que temo a e b, e o último é o caso composto por a, b e c. No primeiro caso temos duas possibilidades [f(a)=(1,0)], no segundo temos quatro possibilidades de base 2 [a-R-b=(1100-R-1010)][3] e no terceiro caso temos oito possibilidades de existência: [a -R- b,c = (11110000 -R- 11001100, 10101010)].

7. Na simbologia comum, o termo usado para a é p, para b é q e para c é r. Então, 11110000 e 1100 são para p; 11001100 são para q e 10101010 são para r. Se acrescentarmos o quarto termo s teremos 16 classes, visto que 2^4=16. É a partir daqui que extraímos 16 dos nossos conectores:

BIBLIOGRAFIA

RUSSELL, Bertrand. (2006). Introdução à filosofia matemática. Évora, Centro de Estudo de História e Filosofia da Ciência.

WITTGENSTEIN, Ludwig. (1968). Tractatus Logico-Philosophicus. José Giannotti (trad.). São Paulo, Companhia Editora Nacional, Vol. 10.

[1] Enumerando totalizam 8 formas: 1) {}; 2) a, 3) b, 4) c; 5) ab, 6) bc,7) ac; 8) abc.

[2] O autor do Tractatus Logico-Philosophicus.

[3] R é a relação antecedente e consequente.